Theorem elimasng 3433

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ((B e. R /\ C e. S) -> (C e. (A"{B}) <-> <.B, C>. e. A))

Proof of Theorem elimasng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2421	. . . . 5 |- (y = B -> {y} = {B})
2	1	imaeq2d 3410	. . . 4 |- (y = B -> (A"{y}) = (A"{B}))
3	2	eleq2d 1544	. . 3 |- (y = B -> (z e. (A"{y}) <-> z e. (A"{B})))
4		opeq1 2491	. . . 4 |- (y = B -> <.y, z>. = <.B, z>.)
5	4	eleq1d 1543	. . 3 |- (y = B -> (<.y, z>. e. A <-> <.B, z>. e. A))
6	3, 5	bibi12d 631	. 2 |- (y = B -> ((z e. (A"{y}) <-> <.y, z>. e. A) <-> (z e. (A"{B}) <-> <.B, z>. e. A)))
7		eleq1 1537	. . 3 |- (z = C -> (z e. (A"{B}) <-> C e. (A"{B})))
8		opeq2 2492	. . . 4 |- (z = C -> <.B, z>. = <.B, C>.)
9	8	eleq1d 1543	. . 3 |- (z = C -> (<.B, z>. e. A <-> <.B, C>. e. A))
10	7, 9	bibi12d 631	. 2 |- (z = C -> ((z e. (A"{B}) <-> <.B, z>. e. A) <-> (C e. (A"{B}) <-> <.B, C>. e. A)))
11		visset 1816	. . 3 |- y e. V
12		visset 1816	. . 3 |- z e. V
13	11, 12	elimasn 3432	. 2 |- (z e. (A"{y}) <-> <.y, z>. e. A)
14	6, 10, 13	vtocl2g 1853	1 |- ((B e. R /\ C e. S) -> (C e. (A"{B}) <-> <.B, C>. e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {csn 2413  <.cop 2415  "cima 3179

This theorem is referenced by:  fvimacnv 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197

Copyright terms: Public domain