HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elioc2t 6390
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioc2t |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
Proof of Theorem elioc2t
StepHypRef Expression
1 elioc1t 6381 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B)))
2 rexrt 5499 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3 rexrt 5499 . . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
41, 2, 3syl2an 454 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B)))
5 mnfltt 5543 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> -oo < A)
65ad2antrr 404 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7 mnfxr 5494 . . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
8 xrlttrt 5553 . . . . . . . . . . . . 13 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
97, 8mp3an1 903 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
109, 2sylan 448 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
1110adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
126, 11mpand 701 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A < C -> -oo < C))
13 ltpnft 5542 . . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> B < +oo)
1413ad2antlr 405 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15 pnfxr 5493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
16 xrlelttrt 5562 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1715, 16mp3an3 905 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1817, 3sylan2 451 . . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1918ancoms 436 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2019adantll 392 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2114, 20mpan2d 702 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C <_ B -> C < +oo))
2212, 21anim12d 558 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A < C /\ C <_ B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23 xrrebndt 5568 . . . . . . . . 9 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2423adantl 388 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2522, 24sylibrd 204 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A < C /\ C <_ B) -> C e. RR))
2625ex 373 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. RR* -> ((A < C /\ C <_ B) -> C e. RR)))
2726imp3a 361 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> C e. RR))
28 pm3.27 323 . . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (A < C /\ C <_ B))
2928a1i 8 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (A < C /\ C <_ B)))
3027, 29jcad 600 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B))))
31 3anass 779 . . . 4 |- ((C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B) <-> (C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)))
32 3anass 779 . . . 4 |- ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) <-> (C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B)))
3330, 31, 323imtr4g 553 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B) -> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
344, 33sylbid 203 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) -> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
35 rexrt 5499 . . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
3635anim1i 334 . . . 4 |- ((C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)))
3736, 32, 313imtr4 219 . . 3 |- ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) -> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B))
384, 37syl5bir 210 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) -> C e. (A(,]B)))
3934, 38impbid 516 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233   <_ cle 5295   +oocpnf 5483   -oocmnf 5484  RR*cxr 5485   < clt 5486  (,]cioc 6358
This theorem is referenced by:  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  ef01tlub 7386  absef01tlub 7388  abspef01tlub 7395  sin01bndlem2 7468  sin01bndlem3 7469  cos01bndlem2 7470  cos01bndlem3 7471  cos1bnd 7474  sin01gt0 7476  cos01gt0 7477  sin02gt0 7478  sincos1sgn 7479  sincos2sgn 7480  pilem1 8671  sinhalfpilem 8679  sincosq1lem 8703  sincos4thpi 8710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-ioc 6362
Copyright terms: Public domain