MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Unicode version

Theorem eliooord 10895
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 10894 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 10882 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 233 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 956 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   RR*cxr 9045    < clt 9046   (,)cioo 10841
This theorem is referenced by:  elioo4g  10896  iccssioo2  10908  qdensere  18668  zcld  18708  reconnlem2  18722  xrge0tsms  18729  ovolioo  19322  ioorcl2  19324  itgsplitioo  19589  dvferm1lem  19728  dvferm2lem  19730  dvferm  19732  dvlt0  19749  dvivthlem1  19752  lhop1lem  19757  lhop1  19758  lhop2  19759  dvcvx  19764  ftc1lem4  19783  itgsubstlem  19792  itgsubst  19793  pilem2  20228  pilem3  20229  pigt2lt4  20230  tangtx  20273  tanabsge  20274  cosne0  20292  tanord  20300  tanregt0  20301  argimlt0  20368  logneg2  20370  divlogrlim  20386  logno1  20387  logcnlem3  20395  dvloglem  20399  logf1o2  20401  loglesqr  20502  asinsin  20592  acoscos  20593  atanlogaddlem  20613  atanlogsub  20616  atantan  20623  atanbndlem  20625  scvxcvx  20684  basellem8  20730  vmalogdivsum2  21092  vmalogdivsum  21093  2vmadivsumlem  21094  chpdifbndlem1  21107  selberg3lem1  21111  selberg3  21113  selberg4lem1  21114  selberg4  21115  selberg3r  21123  selberg4r  21124  selberg34r  21125  pntrlog2bndlem1  21131  pntrlog2bndlem2  21132  pntrlog2bndlem3  21133  pntrlog2bndlem4  21134  pntrlog2bndlem5  21135  pntrlog2bndlem6a  21136  pntrlog2bndlem6  21137  pntrlog2bnd  21138  pntpbnd1a  21139  pntpbnd1  21140  pntpbnd2  21141  pntpbnd  21142  pntibndlem2  21145  pntibndlem3  21146  pntibnd  21147  pntlemd  21148  pntlemb  21151  pntlemr  21156  pnt  21168  padicabv  21184  xrge0tsmsd  24045  lgamgulmlem2  24586  itg2gt0cn  25953  ftc1cnnclem  25971  dvreacos  25974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-ioo 10845
  Copyright terms: Public domain W3C validator