MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Unicode version

Theorem eliooord 10712
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 10711 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 10699 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 232 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 954 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 15 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1686   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   RRcr 8738   RR*cxr 8868    < clt 8869   (,)cioo 10658
This theorem is referenced by:  elioo4g  10713  iccssioo2  10724  qdensere  18281  zcld  18321  reconnlem2  18334  xrge0tsms  18341  ovolioo  18927  ioorcl2  18929  itgsplitioo  19194  dvferm1lem  19333  dvferm2lem  19335  dvferm  19337  dvlt0  19354  dvivthlem1  19357  lhop1lem  19362  lhop1  19363  lhop2  19364  dvcvx  19369  ftc1lem4  19388  itgsubstlem  19397  itgsubst  19398  pilem2  19830  pilem3  19831  pigt2lt4  19832  tangtx  19875  tanabsge  19876  cosne0  19894  tanord  19902  tanregt0  19903  argimlt0  19969  logneg2  19971  divlogrlim  19984  logno1  19985  logcnlem3  19993  dvloglem  19997  logf1o2  19999  loglesqr  20100  asinsin  20190  acoscos  20191  atanlogaddlem  20211  atanlogsub  20214  atantan  20221  atanbndlem  20223  scvxcvx  20282  basellem8  20327  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  chpdifbndlem1  20704  selberg3lem1  20708  selberg3  20710  selberg4lem1  20711  selberg4  20712  selberg3r  20720  selberg4r  20721  selberg34r  20722  pntrlog2bndlem1  20728  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bndlem5  20732  pntrlog2bndlem6a  20733  pntrlog2bndlem6  20734  pntrlog2bnd  20735  pntpbnd1a  20736  pntpbnd1  20737  pntpbnd2  20738  pntpbnd  20739  pntibndlem2  20742  pntibndlem3  20743  pntibnd  20744  pntlemd  20745  pntlemb  20748  pntlemr  20753  pnt  20765  padicabv  20781  xrge0tsmsd  23384  dvreacos  24926  lvsovso  25637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-ioo 10662
  Copyright terms: Public domain W3C validator