MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioopnf Unicode version

Theorem elioopnf 10954
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioopnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) ) )

Proof of Theorem elioopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10669 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
2 elioo2 10913 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B  /\  B  <  +oo ) ) )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B  /\  B  <  +oo ) ) )
4 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  /\  B  <  +oo ) )
5 ltpnf 10677 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  <  +oo )
76pm4.71i 614 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  /\  B  <  +oo ) )
84, 7bitr4i 244 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) )
93, 8syl6bb 253 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076   (,)cioo 10872
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  19492  mbfposr  19497  ismbf3d  19499  mbfaddlem  19505  mbfsup  19509  itg2gt0  19605  itg2cnlem1  19606  itg2cnlem2  19607  lhop2  19852  dvfsumlem2  19864  dvfsumlem3  19865  dvfsumrlimge0  19867  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemi  21251  pntlemo  21254  itg2addnclem2  26156  iblabsnclem  26167  rfcnpre1  27557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ioo 10876
  Copyright terms: Public domain W3C validator