MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioopnf Unicode version

Theorem elioopnf 10829
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioopnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) ) )

Proof of Theorem elioopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10547 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
2 elioo2 10789 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B  /\  B  <  +oo ) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B  /\  B  <  +oo ) ) )
4 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  /\  B  <  +oo ) )
5 ltpnf 10555 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  <  +oo )
76pm4.71i 613 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B )  /\  B  <  +oo ) )
84, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <  B  /\  B  <  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) )
93, 8syl6bb 252 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( A (,)  +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  < 
B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   RRcr 8826    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    < clt 8957   (,)cioo 10748
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  19106  mbfposr  19111  ismbf3d  19113  mbfaddlem  19119  mbfsup  19123  itg2gt0  19219  itg2cnlem1  19220  itg2cnlem2  19221  lhop2  19466  dvfsumlem2  19478  dvfsumlem3  19479  dvfsumrlimge0  19481  dvfsumrlim  19482  dvfsumrlim2  19483  pntpbnd1a  20846  pntpbnd2  20848  pntibndlem2  20852  pntibndlem3  20853  pntlemi  20865  pntlemo  20868  itg2addnclem2  25493  iblabsnclem  25503  rfcnpre1  27013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-ioo 10752
  Copyright terms: Public domain W3C validator