Theorem elirr 4582

Description: No class is a member of itself. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
elirr	|- -. A e. A

Proof of Theorem elirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1533	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. x <-> x e. A))
2		eleq1 1532	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. A <-> A e. A))
3	1, 2	bitrd 527	. . . 4 |- (x = A -> (x e. x <-> A e. A))
4	3	negbid 610	. . 3 |- (x = A -> (-. x e. x <-> -. A e. A))
5		elirrv 4581	. . 3 |- -. x e. x
6	4, 5	vtoclg 1844	. 2 |- (A e. A -> -. A e. A)
7		pm2.01 88	. 2 |- ((A e. A -> -. A e. A) -> -. A e. A)
8	6, 7	ax-mp 7	1 |- -. A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957

This theorem is referenced by:  sucprcreg 4583  carduni 4841  alephle 4867  alephfp 4883  alephval3 4886  tpsex 7565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-reg 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410

Copyright terms: Public domain