Theorem elirrv 4598

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 4601 and efrirr 2928, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)

Assertion

Ref	Expression
elirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem elirrv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
3	2	snid 2435	. . . 4 |- x e. {x}
4	1, 3	a4eiv 1274	. . 3 |- E.y y e. {x}
5		snex 2750	. . . 4 |- {x} e. V
6	5	zfregcl 4595	. . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
7	4, 6	ax-mp 7	. 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8		ax-14 970	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
9	8	equcoms 1130	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11		elsn 2421	. . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
14	13	negbid 611	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
15	14	rcla4cv 1874	. . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
16	3, 15	mt2i 110	. . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
17	12, 16	nsyli 121	. . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
18	17	con2d 91	. . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
19	18	r19.21aiv 1713	. . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20		ralnex 1653	. . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
21	19, 20	sylib 198	. 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
22	7, 21	mt2 109	1 |- -. x e. x

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646  {csn 2409

This theorem is referenced by:  elirr 4599  aceq6b 4742  nd1 4938  nd2 4939  nd3 4940  axunnd 4948  axregndlem1 4954  axregndlem2 4955  axregnd 4956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413

Copyright terms: Public domain