Theorem elirrv 4741

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 4746 and efrirr 2957, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)

Assertion

Ref	Expression
elirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem elirrv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1577	. . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2		visset 1859	. . . . 5 |- x e. V
3	2	snid 2496	. . . 4 |- x e. {x}
4	1, 3	a4eiv 1312	. . 3 |- E.y y e. {x}
5		snex 2826	. . . 4 |- {x} e. V
6	5	zfregcl 4738	. . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
7	4, 6	ax-mp 7	. 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8		ax-14 1006	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
9	8	equcoms 1167	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11		elsn 2479	. . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
12	10, 11	syl5ib 204	. . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13		eleq1 1577	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
14	13	notbid 614	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
15	14	rcla4cv 1920	. . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
16	3, 15	mt2i 109	. . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
17	12, 16	nsyli 120	. . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
18	17	con2d 91	. . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
19	18	r19.21aiv 1759	. . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20		ralnex 1699	. . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
21	19, 20	sylib 196	. 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
22	7, 21	mt2 108	1 |- -. x e. x

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  A.wral 1691  E.wrex 1692  {csn 2467

This theorem is referenced by:  elirr 4742  ruv 4744  aceq6b 4888  nd1 5092  nd2 5093  nd3 5094  axunnd 5102  axregndlem1 5108  axregndlem2 5109  axregnd 5110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-reg 4736

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471

Copyright terms: Public domain