Theorem elixp 4350

Description: Membership in an infinite Cartesian product.

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
elixp	|- (F e. X_x e. A B <-> (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem elixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 779	. 2 |- ((F e. V /\ F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B) <-> (F e. V /\ (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B)))
2		elixp2 4349	. 2 |- (F e. X_x e. A B <-> (F e. V /\ F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))
3		elixp.1	. . 3 |- F e. V
4	3	biantrur 725	. 2 |- ((F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B) <-> (F e. V /\ (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B)))
5	1, 2, 4	3bitr4 183	1 |- (F e. X_x e. A B <-> (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   Fn wfn 3177  ` cfv 3182  X_cixp 4347

This theorem is referenced by:  elixpconst 4351  ss2ixp 4354  ixp0 4361  mapixp 4362  ac9s 4764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-ixp 4348

Copyright terms: Public domain