Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellz1 Unicode version

Theorem ellz1 25994
Description: Membership in a set of lower integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellz1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem ellz1
StepHypRef Expression
1 eldif 3196 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) ) )
2 zltp1le 10114 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A ) )
4 zre 10075 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
5 zre 10075 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 8946 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 peano2z 10107 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 eluz 10288 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
108, 9sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
1110notbid 285 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A )
)
123, 7, 113bitr4rd 277 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <-> 
A  <_  B )
)
1312pm5.32da 622 . 2  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) ) )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
) )
141, 13syl5bb 248 1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1701    \ cdif 3183   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912    <_ cle 8913   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277
This theorem is referenced by:  lzunuz  25995  fz1eqin  25996  lzenom  25997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278
  Copyright terms: Public domain W3C validator