Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellz1 Structured version   Unicode version

Theorem ellz1 26825
Description: Membership in a set of lower integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellz1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem ellz1
StepHypRef Expression
1 eldif 3330 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) ) )
2 zltp1le 10325 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
32notbid 286 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A ) )
4 zre 10286 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
5 zre 10286 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 9154 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 peano2z 10318 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 eluz 10499 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
108, 9sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
1110notbid 286 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A )
)
123, 7, 113bitr4rd 278 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <-> 
A  <_  B )
)
1312pm5.32da 623 . 2  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) ) )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
) )
141, 13syl5bb 249 1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    \ cdif 3317   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  lzunuz  26826  fz1eqin  26827  lzenom  26828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator