Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellz1 Unicode version

Theorem ellz1 26245
Description: Membership in a set of lower integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellz1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem ellz1
StepHypRef Expression
1 eldif 3163 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) ) )
2 zltp1le 10062 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
32notbid 287 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A ) )
4 zre 10023 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
5 zre 10023 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 8896 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 peano2z 10055 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 eluz 10236 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
108, 9sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
1110notbid 287 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A )
)
123, 7, 113bitr4rd 279 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <-> 
A  <_  B )
)
1312pm5.32da 624 . 2  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) ) )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
) )
141, 13syl5bb 250 1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685    \ cdif 3150   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731   1c1 8733    + caddc 8735    < clt 8862    <_ cle 8863   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225
This theorem is referenced by:  lzunuz  26246  fz1eqin  26247  lzenom  26248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226
  Copyright terms: Public domain W3C validator