Theorem elmapg 4333

Description: Membership relation for set exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C:B-->A))

Proof of Theorem elmapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 4330	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (A ^m B) = {g | g:B-->A})
2	1	eleq2d 1541	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C e. {g | g:B-->A}))
3		fex 3652	. . . . 5 |- ((C:B-->A /\ B e. S) -> C e. V)
4	3	expcom 374	. . . 4 |- (B e. S -> (C:B-->A -> C e. V))
5	4	adantl 388	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C:B-->A -> C e. V))
6		feq1 3620	. . . 4 |- (g = C -> (g:B-->A <-> C:B-->A))
7	6	elab3g 1902	. . 3 |- ((C:B-->A -> C e. V) -> (C e. {g | g:B-->A} <-> C:B-->A))
8	5, 7	syl 10	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. {g | g:B-->A} <-> C:B-->A))
9	2, 8	bitrd 528	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (C e. (A ^m B) <-> C:B-->A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811  -->wf 3178  (class class class)co 3963   ^m cm 4322

This theorem is referenced by:  elmap 4334  iscn 7758  iscnp 7760  isfuna 10754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324

Copyright terms: Public domain