MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmpt2cl Unicode version

Theorem elmpt2cl 6279
Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elmpt2cl.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
elmpt2cl  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    S( x, y)    T( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem elmpt2cl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmpt2cl.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 df-mpt2 6077 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
31, 2eqtri 2455 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
43dmeqi 5062 . . . 4  |-  dom  F  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
5 dmoprabss 6146 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  C_  ( A  X.  B
)
64, 5eqsstri 3370 . . 3  |-  dom  F  C_  ( A  X.  B
)
7 elfvdm 5748 . . . 4  |-  ( X  e.  ( F `  <. S ,  T >. )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F )
8 df-ov 6075 . . . 4  |-  ( S F T )  =  ( F `  <. S ,  T >. )
97, 8eleq2s 2527 . . 3  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F
)
106, 9sseldi 3338 . 2  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B ) )
11 opelxp 4899 . 2  |-  ( <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B ) )
1210, 11sylib 189 1  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4867   dom cdm 4869   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   {coprab 6073    e. cmpt2 6074
This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  6280  elmpt2cl2  6281  elovmpt2  6282  ixxssixx  10919  funcrcl  14048  natrcl  14135  ismhm  14728  isghm  14994  isga  15056  isslw  15230  isrhm  15812  islmhm  16091  iscn2  17290  elflim2  17984  isfcls  18029  isnmhm  18768  limcrcl  19749  iscvm  24934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4875  df-dm 4879  df-iota 5409  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077
  Copyright terms: Public domain W3C validator