Theorem elnn0nn 6126

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	|- (N e. NN0 <-> (N e. CC /\ (N + 1) e. NN))

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 5891	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
2		opreq1 3959	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (N + 1) = (0 + 1))
3		ax1cn 5249	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
4	3	addid2 5311	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
5	2, 4	syl6eq 1520	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N + 1) = 1)
6		1nn 5890	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
7	5, 6	syl6eqel 1553	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (N + 1) e. NN)
8	1, 7	jaoi 341	. . . . 5 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (N + 1) e. NN)
9		recnt 5293	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> N e. CC)
10		1z 6114	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
11		zrevaddclt 6125	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 e. ZZ -> ((N e. CC /\ (N + 1) e. ZZ) <-> N e. ZZ))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. ZZ) <-> N e. ZZ)
13	12	biimp 151	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. ZZ) -> N e. ZZ)
14	13	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (N e. CC -> ((N + 1) e. ZZ -> N e. ZZ))
15	9, 14	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> ((N + 1) e. ZZ -> N e. ZZ))
16		0re 5420	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
17		1re 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
18		leadd1t 5607	. . . . . . . . . . . 12 |- ((0 e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR) -> (0 <_ N <-> (0 + 1) <_ (N + 1)))
19	16, 17, 18	mp3an13 905	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> (0 <_ N <-> (0 + 1) <_ (N + 1)))
20	4	breq1i 2621	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 + 1) <_ (N + 1) <-> 1 <_ (N + 1))
21	19, 20	syl6bb 535	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> (0 <_ N <-> 1 <_ (N + 1)))
22		leloet 5499	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ N e. RR) -> (0 <_ N <-> (0 < N \/ 0 = N)))
23	16, 22	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> (0 <_ N <-> (0 < N \/ 0 = N)))
24	21, 23	bitr3d 529	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (1 <_ (N + 1) <-> (0 < N \/ 0 = N)))
25	24	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (1 <_ (N + 1) -> (0 < N \/ 0 = N)))
26	15, 25	anim12d 557	. . . . . . 7 |- (N e. RR -> (((N + 1) e. ZZ /\ 1 <_ (N + 1)) -> (N e. ZZ /\ (0 < N \/ 0 = N))))
27		andi 603	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ (0 < N \/ 0 = N)) <-> ((N e. ZZ /\ 0 < N) \/ (N e. ZZ /\ 0 = N)))
28		elnnz 6100	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
29		eqcom 1474	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 <-> 0 = N)
30		0z 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
31		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 = N -> (0 e. ZZ <-> N e. ZZ))
32	30, 31	mpbii 193	. . . . . . . . . . 11 |- (0 = N -> N e. ZZ)
33	32	pm4.71ri 637	. . . . . . . . . 10 |- (0 = N <-> (N e. ZZ /\ 0 = N))
34	29, 33	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 <-> (N e. ZZ /\ 0 = N))
35	28, 34	orbi12i 257	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN \/ N = 0) <-> ((N e. ZZ /\ 0 < N) \/ (N e. ZZ /\ 0 = N)))
36	27, 35	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ (0 < N \/ 0 = N)) <-> (N e. NN \/ N = 0))
37	26, 36	syl6ib 212	. . . . . 6 |- (N e. RR -> (((N + 1) e. ZZ /\ 1 <_ (N + 1)) -> (N e. NN \/ N = 0)))
38		elnnz1 6110	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. NN <-> ((N + 1) e. ZZ /\ 1 <_ (N + 1)))
39	37, 38	syl5ib 206	. . . . 5 |- (N e. RR -> ((N + 1) e. NN -> (N e. NN \/ N = 0)))
40	8, 39	impbid2 517	. . . 4 |- (N e. RR -> ((N e. NN \/ N = 0) <-> (N + 1) e. NN))
41		elnn0 6056	. . . 4 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
42	40, 41	syl5bb 531	. . 3 |- (N e. RR -> (N e. NN0 <-> (N + 1) e. NN))
43	42	pm5.32i 644	. 2 |- ((N e. RR /\ N e. NN0) <-> (N e. RR /\ (N + 1) e. NN))
44		nn0ret 6063	. . 3 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
45	44	pm4.71ri 637	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. RR /\ N e. NN0))
46		zret 6094	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
47	12, 46	sylbi 199	. . . . 5 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. ZZ) -> N e. RR)
48		nnzt 6108	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN -> (N + 1) e. ZZ)
49	47, 48	sylan2 451	. . . 4 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. NN) -> N e. RR)
50		pm3.27 323	. . . 4 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. NN) -> (N + 1) e. NN)
51	49, 50	jca 288	. . 3 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. NN) -> (N e. RR /\ (N + 1) e. NN))
52	9	anim1i 334	. . 3 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. NN) -> (N e. CC /\ (N + 1) e. NN))
53	51, 52	impbi 157	. 2 |- ((N e. CC /\ (N + 1) e. NN) <-> (N e. RR /\ (N + 1) e. NN))
54	43, 45, 53	3bitr4 183	1 |- (N e. NN0 <-> (N e. CC /\ (N + 1) e. NN))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277  ZZcz 5278   < clt 5466

This theorem is referenced by:  elnnnn0 6127  nn0p1nnt 6130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain