HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elnnz 6147
Description: Natural number property expressed in terms of integers.
Assertion
Ref Expression
elnnz |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnret 5931 . . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
2 orc 269 . . . . 5 |- (N e. NN -> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
31, 2jca 288 . . . 4 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
4 nngt0t 5948 . . . 4 |- (N e. NN -> 0 < N)
53, 4jca 288 . . 3 |- (N e. NN -> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
6 idd 61 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (N e. NN -> N e. NN))
7 lt0neg2t 5681 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (0 < N <-> -uN < 0))
8 renegclt 5449 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
9 0re 5452 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
10 ltnsymt 5544 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
119, 10mpan2 698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
128, 11syl 10 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
137, 12sylbid 203 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> (0 < N -> -. 0 < -uN))
1413imp 350 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. 0 < -uN)
15 nngt0t 5948 . . . . . . . . . . 11 |- (-uN e. NN -> 0 < -uN)
1614, 15nsyl 116 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. -uN e. NN)
17 gt0ne0t 5630 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> N =/= 0)
18 df-ne 1590 . . . . . . . . . . 11 |- (N =/= 0 <-> -. N = 0)
1917, 18sylib 198 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. N = 0)
2016, 19jca 288 . . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
21 ioran 306 . . . . . . . . 9 |- (-. (-uN e. NN \/ N = 0) <-> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
2220, 21sylibr 200 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. (-uN e. NN \/ N = 0))
2322pm2.21d 78 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
246, 23jaod 426 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN))
2524ex 373 . . . . 5 |- (N e. RR -> (0 < N -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN)))
2625com23 32 . . . 4 |- (N e. RR -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> (0 < N -> N e. NN)))
2726imp31 362 . . 3 |- (((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N) -> N e. NN)
285, 27impbi 157 . 2 |- (N e. NN <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
29 elz 6139 . . . 4 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
30 3orrot 783 . . . . . 6 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0))
31 3orass 780 . . . . . 6 |- ((N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3230, 31bitr 173 . . . . 5 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3332anbi2i 482 . . . 4 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3429, 33bitr 173 . . 3 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3534anbi1i 483 . 2 |- ((N e. ZZ /\ 0 < N) <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
3628, 35bitr4 176 1 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 776   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  RRcr 5245  0cc0 5246  -ucneg 5305  NNcn 5308  ZZcz 5310   < clt 5498
This theorem is referenced by:  elnn0z 6149  nnssz 6153  nn0subt 6163  elnn0nn 6173  elnnnn0b 6175  znnsubt 6179  msqznn 6198  sqr2irr 6730  eftlexOLD 7377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-z 6138
Copyright terms: Public domain