Theorem elnp 5072

Description: Membership in positive reals.

Assertion

Ref	Expression
elnp	|- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1813	. 2 |- (A e. P. -> A e. V)
2		pssss 2139	. . . 4 |- (A (. Q. -> A (_ Q.)
3		nqex 5029	. . . . 5 |- Q. e. V
4	3	ssex 2714	. . . 4 |- (A (_ Q. -> A e. V)
5	2, 4	syl 10	. . 3 |- (A (. Q. -> A e. V)
6	5	ad2antlr 405	. 2 |- ((((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)) -> A e. V)
7		psseq2 2132	. . . . 5 |- (z = A -> ((/) (. z <-> (/) (. A))
8		psseq1 2131	. . . . 5 |- (z = A -> (z (. Q. <-> A (. Q.))
9	7, 8	anbi12d 627	. . . 4 |- (z = A -> (((/) (. z /\ z (. Q.) <-> ((/) (. A /\ A (. Q.)))
10		eleq2 1532	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
11	10	imbi2d 611	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((y <Q x -> y e. z) <-> (y <Q x -> y e. A)))
12	11	albidv 1276	. . . . . 6 |- (z = A -> (A.y(y <Q x -> y e. z) <-> A.y(y <Q x -> y e. A)))
13		rexeq1 1784	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. z x <Q y <-> E.y e. A x <Q y))
14	12, 13	anbi12d 627	. . . . 5 |- (z = A -> ((A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
15	14	raleqd 1788	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
16	9, 15	anbi12d 627	. . 3 |- (z = A -> ((((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y)) <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
17		df-np 5066	. . 3 |- P. = {z | (((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y))}
18	16, 17	elab2g 1896	. 2 |- (A e. V -> (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 678	1 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   (. wpss 2044  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  Q.cnq 4959   <Q cltq 4964  P.cnp 4965

This theorem is referenced by:  prn0 5073  prpssnq 5074  prcdpq 5077  prnmax 5079  genpcl 5091  1pr 5097  ltexprlem5 5126  reclem2pr 5137  suplem1pr 5141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-qs 4256  df-ni 4980  df-nq 5018  df-np 5066

Copyright terms: Public domain