MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo1d Unicode version

Theorem elo1d 12012
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elo1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
elo1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
elo1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
elo1d.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
elo1d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( abs `  B
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
elo1d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, M
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem elo1d
StepHypRef Expression
1 elo1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 elo1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
32abscld 11920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4 elo1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 elo1d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 elo1d.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( abs `  B
)  <_  M )
71, 3, 4, 5, 6ello1d 11999 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
82lo1o12 12009 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
97, 8mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738    <_ cle 8870   abscabs 11721   O ( 1 )co1 11962   <_ O ( 1 )clo1 11963
This theorem is referenced by:  o1fsum  12273  flo1  12315  divsqrsumo1  20280  chebbnd1  20623  chto1ub  20627  rpvmasumlem  20638  dchrmusum2  20645  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  rplogsum  20678  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  selberg3lem1  20708  pntrsumo1  20716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966  df-lo1 11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator