Theorem elom3 4611

Description: A simplification of elom 3129 assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
elom3	|- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomg 3130	. . . 4 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
2	1	ibi 591	. . 3 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
3	2	pm3.27d 325	. 2 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
4		limom 3141	. . 3 |- Lim om
5		omex 4607	. . . 4 |- om e. V
6		limeq 2955	. . . . 5 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
7		eleq2 1532	. . . . 5 |- (x = om -> (A e. x <-> A e. om))
8	6, 7	imbi12d 625	. . . 4 |- (x = om -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim om -> A e. om)))
9	5, 8	cla4v 1864	. . 3 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim om -> A e. om))
10	4, 9	mpi 44	. 2 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> A e. om)
11	3, 10	impbi 157	1 |- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  Ord word 2942  Lim wlim 2944  omcom 3126

This theorem is referenced by:  dfom4 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127

Copyright terms: Public domain