Theorem elopab 2806

Description: Membership in a class abstraction of pairs.

Assertion

Ref	Expression
elopab	|- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Proof of Theorem elopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1813	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | ph} -> A e. V)
2		opex 2777	. . . . 5 |- <.x, y>. e. V
3		eleq1 1531	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> (A e. V <-> <.x, y>. e. V))
4	2, 3	mpbiri 194	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> A e. V)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. V)
6	5	19.23aivv 1294	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. V)
7		eleq1 1531	. . 3 |- (z = A -> (z e. {<.x, y>. | ph} <-> A e. {<.x, y>. | ph}))
8		eqeq1 1478	. . . . 5 |- (z = A -> (z = <.x, y>. <-> A = <.x, y>.))
9	8	anbi1d 616	. . . 4 |- (z = A -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (A = <.x, y>. /\ ph)))
10	9	2exbidv 1279	. . 3 |- (z = A -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
11		df-opab 2662	. . . 4 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
12	11	abeq2i 1567	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
13	7, 10, 12	vtoclbg 1844	. 2 |- (A e. V -> (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
14	1, 6, 13	pm5.21nii 678	1 |- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  <.cop 2407  {copab 2661

This theorem is referenced by:  hbopab 2807  opelopabg 2812  opabn0 2819  elxp 3197  elcnv 3288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662

Copyright terms: Public domain