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Theorem elpotr 23541
Description: A class of transitive sets is partially ordered by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
elpotr  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem elpotr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alral 2602 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
21alimi 1546 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
3 alral 2602 . . . . 5  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
54ralimi 2619 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
6 ralcom 2701 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
7 ralcom 2701 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
87ralbii 2568 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
96, 8bitri 240 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
105, 9sylib 188 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
11 dftr2 4116 . . 3  |-  ( Tr  z  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
1211ralbii 2568 . 2  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z 
<-> 
A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
13 df-po 4313 . . 3  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
14 epel 4307 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
15 epel 4307 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1614, 15anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  z )
)
17 epel 4307 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
1816, 17imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
19 elirrv 7307 . . . . . . . 8  |-  -.  x  e.  x
20 epel 4307 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  x  <->  x  e.  x )
2119, 20mtbir 290 . . . . . . 7  |-  -.  x  _E  x
2221biantrur 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2318, 22bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2423ralbii 2568 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
25242ralbii 2570 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2613, 25bitr4i 243 . 2  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
2710, 12, 263imtr4i 257 1  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   A.wral 2544   class class class wbr 4024   Tr wtr 4114    _E cep 4302    Po wpo 4311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-reg 7302
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-po 4313
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