MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Structured version   Unicode version

Theorem elprchashprn2 11669
Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 3916 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  { M ,  N }  =  { N } )
2 hashsng 11649 . . . 4  |-  ( N  e.  _V  ->  ( # `
 { N }
)  =  1 )
3 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { M ,  N } )  =  ( # `  { N } ) )
43eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { N } )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
54eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  ( ( # `  { N } )  =  1  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  1 ) )
65biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
7 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
8 1ne2 10189 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  2
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  1  =/=  2 )
107, 9eqnetrd 2621 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
1110neneqd 2619 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
126, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
1312expcom 426 . . . 4  |-  ( (
# `  { N } )  =  1  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
142, 13syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
15 snprc 3873 . . . 4  |-  ( -.  N  e.  _V  <->  { N }  =  (/) )
16 eqeq2 2447 . . . . . . 7  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  <->  { M ,  N }  =  (/) ) )
1716biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  { M ,  N }  =  (/) )
18 hash0 11648 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  ( # `  (/) ) )
2019eqcomd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  (/) )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
2120eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  0 ) )
2221biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
23 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
24 2ne0 10085 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
2524necomi 2688 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  2
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  0  =/=  2 )
2723, 26eqnetrd 2621 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
2827neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
2922, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
3017, 18, 29sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  -.  ( # `  { M ,  N } )  =  2 )
3130ex 425 . . . 4  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
3215, 31sylbi 189 . . 3  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
3314, 32pm2.61i 159 . 2  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
341, 33syl 16 1  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5456   0cc0 8992   1c1 8993   2c2 10051   #chash 11620
This theorem is referenced by:  hashprb  11670  usgraedgrnv  21399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-hash 11621
  Copyright terms: Public domain W3C validator