Theorem elprpq 5078

Description: A positive real is a set of positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
elprpq	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)

Proof of Theorem elprpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 5077	. . . 4 |- (A e. P. -> A (. Q.)
2	1	pssssd 2141	. . 3 |- (A e. P. -> A (_ Q.)
3	2	sseld 2064	. 2 |- (A e. P. -> (B e. A -> B e. Q.))
4	3	imp 350	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Q.cnq 4962  P.cnp 4968

This theorem is referenced by:  prub 5081  genpnnp 5091  genpnmax 5093  addclprlem1 5101  addclprlem2 5102  mulclprlem 5104  distrlem3pr 5112  distrlem4pr 5113  1idpr 5116  psslinpr 5118  prlem934 5122  ltaddpr 5123  ltexprlem2 5126  ltexprlem3 5127  ltexprlem6 5130  ltexprlem7 5131  prlem936b 5137  prlem936 5138  reclem2pr 5140  reclem4pr 5142

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-qs 4259  df-ni 4983  df-nq 5021  df-np 5069

Copyright terms: Public domain