Theorem elq 6207

Description: Membership in the set of rationals.

Assertion

Ref	Expression
elq	|- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 6206	. . 3 |- QQ = {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)}
2	1	eleq2i 1536	. 2 |- (A e. QQ <-> A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)})
3		oprex 3978	. . . . . . . 8 |- (x / y) e. V
4		eleq1 1532	. . . . . . . 8 |- (A = (x / y) -> (A e. V <-> (x / y) e. V))
5	3, 4	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (A = (x / y) -> A e. V)
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (A = (x / y) -> A e. V))
7	6	r19.23aiv 1741	. . . . 5 |- (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V))
9	8	r19.23aiv 1741	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
10		eqeq1 1479	. . . 4 |- (z = A -> (z = (x / y) <-> A = (x / y)))
11	10	2rexbidv 1679	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y) <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y)))
12	9, 11	elab3 1900	. 2 |- (A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13	2, 12	bitr 173	1 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  E.wrex 1644  Vcvv 1808  (class class class)co 3958   / cdiv 5277  NNcn 5279  ZZcz 5281  QQcq 5282

This theorem is referenced by:  znq 6208  qret 6209  zqt 6210  qaddclt 6219  qnegclt 6220  qmulclt 6221  qrecclt 6223  sqr2irr 6674  eirr 7352  qnnen 7463  ipasslem5 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-uni 2500  df-fv 3194  df-opr 3960  df-q 6206

Copyright terms: Public domain