MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Unicode version

Theorem elrege0 10899
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 8985 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 10892 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884    +oocpnf 9011    <_ cle 9015   [,)cico 10811
This theorem is referenced by:  ge0addcl  10901  ge0mulcl  10902  fsumge0  12461  isabvd  15795  abvge0  15800  rege0subm  16645  nmolb  18439  nmoge0  18443  nmoi  18450  icopnfcnv  18655  icopnfhmeo  18656  cphsqrcl  18835  tchcph  18882  ovolfsf  19046  ovolmge0  19051  ovolunlem1a  19070  ovoliunlem1  19076  ovolicc2lem4  19094  ioombl1lem4  19133  uniioombllem2  19153  uniioombllem6  19158  0plef  19242  i1fpos  19276  mbfi1fseqlem1  19285  mbfi1fseqlem3  19287  mbfi1fseqlem4  19288  mbfi1fseqlem5  19289  mbfi1fseqlem6  19290  mbfi1flimlem  19292  itg2const  19310  itg2const2  19311  itg2mulclem  19316  itg2mulc  19317  itg2monolem1  19320  itg2monolem2  19321  itg2monolem3  19322  itg2mono  19323  itg2i1fseqle  19324  itg2i1fseq3  19327  itg2addlem  19328  itg2gt0  19330  itg2cnlem1  19331  itg2cnlem2  19332  itg2cn  19333  iblconst  19387  itgconst  19388  ibladdlem  19389  itgaddlem1  19392  iblabslem  19397  iblabs  19398  iblmulc2  19400  itgmulc2lem1  19401  bddmulibl  19408  itggt0  19411  itgcn  19412  dvge0  19568  dvle  19569  dvfsumrlim  19593  cxpcn3lem  20309  cxpcn3  20310  resqrcn  20311  loglesqr  20320  areaf  20478  areacl  20479  areage0  20480  rlimcnp3  20484  efrlim  20486  jensenlem2  20504  jensen  20505  amgmlem  20506  amgm  20507  dchrisumlem3  20863  dchrmusumlema  20865  dchrmusum2  20866  dchrvmasumlem2  20870  dchrvmasumiflem1  20873  dchrisum0lema  20886  dchrisum0lem1b  20887  dchrisum0lem1  20888  dchrisum0lem2  20890  esumpcvgval  23933  hasheuni  23940  esumcvg  23941  axcontlem2  25335  axcontlem7  25340  axcontlem8  25341  axcontlem10  25343  itg2addnclem2  25676  itg2addnc  25677  itg2gt0cn  25678  ibladdnclem  25679  itgaddnclem1  25681  iblabsnclem  25686  iblabsnc  25687  iblmulc2nc  25688  itgmulc2nclem1  25689  bddiblnc  25693  itggt0cn  25695  areacirclem4  25702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-ico 10815
  Copyright terms: Public domain W3C validator