MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Unicode version

Theorem elrege0 10741
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 8834 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 10734 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 10 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685   class class class wbr 4025  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    +oocpnf 8860    <_ cle 8864   [,)cico 10653
This theorem is referenced by:  ge0addcl  10743  ge0mulcl  10744  fsumge0  12248  isabvd  15580  abvge0  15585  rege0subm  16423  nmolb  18221  nmoge0  18225  nmoi  18232  icopnfcnv  18435  icopnfhmeo  18436  cphsqrcl  18615  tchcph  18662  ovolfsf  18826  ovolmge0  18831  ovolunlem1a  18850  ovoliunlem1  18856  ovolicc2lem4  18874  ioombl1lem4  18913  uniioombllem2  18933  uniioombllem6  18938  0plef  19022  i1fpos  19056  mbfi1fseqlem1  19065  mbfi1fseqlem3  19067  mbfi1fseqlem4  19068  mbfi1fseqlem5  19069  mbfi1fseqlem6  19070  mbfi1flimlem  19072  itg2const  19090  itg2const2  19091  itg2mulclem  19096  itg2mulc  19097  itg2monolem1  19100  itg2monolem2  19101  itg2monolem3  19102  itg2mono  19103  itg2i1fseqle  19104  itg2i1fseq3  19107  itg2addlem  19108  itg2gt0  19110  itg2cnlem1  19111  itg2cnlem2  19112  itg2cn  19113  iblconst  19167  itgconst  19168  ibladdlem  19169  itgaddlem1  19172  iblabslem  19177  iblabs  19178  iblmulc2  19180  itgmulc2lem1  19181  bddmulibl  19188  itggt0  19191  itgcn  19192  dvge0  19348  dvle  19349  dvfsumrlim  19373  cxpcn3lem  20082  cxpcn3  20083  resqrcn  20084  loglesqr  20093  areaf  20251  areacl  20252  areage0  20253  rlimcnp3  20257  efrlim  20259  jensenlem2  20277  jensen  20278  amgmlem  20279  amgm  20280  dchrisumlem3  20635  dchrmusumlema  20637  dchrmusum2  20638  dchrvmasumlem2  20642  dchrvmasumiflem1  20645  dchrisum0lema  20658  dchrisum0lem1b  20659  dchrisum0lem1  20660  dchrisum0lem2  20662  axcontlem2  24001  axcontlem7  24006  axcontlem8  24007  axcontlem10  24009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-ico 10657
  Copyright terms: Public domain W3C validator