MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Unicode version

Theorem elrege0 10746
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 10739 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658
This theorem is referenced by:  ge0addcl  10748  ge0mulcl  10749  fsumge0  12253  isabvd  15585  abvge0  15590  rege0subm  16428  nmolb  18226  nmoge0  18230  nmoi  18237  icopnfcnv  18440  icopnfhmeo  18441  cphsqrcl  18620  tchcph  18667  ovolfsf  18831  ovolmge0  18836  ovolunlem1a  18855  ovoliunlem1  18861  ovolicc2lem4  18879  ioombl1lem4  18918  uniioombllem2  18938  uniioombllem6  18943  0plef  19027  i1fpos  19061  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  mbfi1flimlem  19077  itg2const  19095  itg2const2  19096  itg2mulclem  19101  itg2mulc  19102  itg2monolem1  19105  itg2monolem2  19106  itg2monolem3  19107  itg2mono  19108  itg2i1fseqle  19109  itg2i1fseq3  19112  itg2addlem  19113  itg2gt0  19115  itg2cnlem1  19116  itg2cnlem2  19117  itg2cn  19118  iblconst  19172  itgconst  19173  ibladdlem  19174  itgaddlem1  19177  iblabslem  19182  iblabs  19183  iblmulc2  19185  itgmulc2lem1  19186  bddmulibl  19193  itggt0  19196  itgcn  19197  dvge0  19353  dvle  19354  dvfsumrlim  19378  cxpcn3lem  20087  cxpcn3  20088  resqrcn  20089  loglesqr  20098  areaf  20256  areacl  20257  areage0  20258  rlimcnp3  20262  efrlim  20264  jensenlem2  20282  jensen  20283  amgmlem  20284  amgm  20285  dchrisumlem3  20640  dchrmusumlema  20642  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0lema  20663  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2  20667  esumpcvgval  23446  hasheuni  23453  esumcvg  23454  axcontlem2  24593  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599  axcontlem10  24601  areacirclem4  24927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662
  Copyright terms: Public domain W3C validator