MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Unicode version

Theorem elrestr 13648
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S
)
2 ineq1 3527 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )
32eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  i^i  S
)  =  ( x  i^i  S )  <->  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) ) )
43rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
51, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
6 elrest 13647 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( A  i^i  S )  e.  ( Jt  S )  <->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) ) )
75, 6syl5ibr 213 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( A  e.  J  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) ) )
873impia 1150 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640
This theorem is referenced by:  firest  13652  restbas  17214  tgrest  17215  resttopon  17217  restcld  17228  restfpw  17235  neitr  17236  restntr  17238  ordtrest  17258  cnrest  17341  lmss  17354  consubclo  17479  restnlly  17537  islly2  17539  cldllycmp  17550  lly1stc  17551  kgenss  17567  xkococnlem  17683  xkoinjcn  17711  qtoprest  17741  trfbas2  17867  trfil1  17910  trfil2  17911  fgtr  17914  trfg  17915  uzrest  17921  trufil  17934  flimrest  18007  cnextcn  18090  trust  18251  restutop  18259  trcfilu  18316  cfiluweak  18317  xrsmopn  18835  zdis  18839  xrge0tsms  18857  cnheibor  18972  cfilres  19241  lhop2  19891  psercn  20334  xrlimcnp  20799  xrge0tsmsd  24215  pnfneige0  24328  lmxrge0  24329  rrhre  24379  cvmscld  24952  cvmopnlem  24957  cvmliftmolem1  24960  subspopn  26449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rest 13642
  Copyright terms: Public domain W3C validator