Theorem elrn 3350

Description: Membership in a range.

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
elrn	|- (A e. ran B <-> E.x xBA)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. . 3 |- A e. V
2	1	elrn2 3349	. 2 |- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)
3		df-br 2620	. . 3 |- (xBA <-> <.x, A>. e. B)
4	3	exbii 1051	. 2 |- (E.x xBA <-> E.x<.x, A>. e. B)
5	2, 4	bitr4 176	1 |- (A e. ran B <-> E.x xBA)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  dmcosseq 3365  rnco 3502  dffo4 3820  fvclss 3855  cbvfo 3885  erref 4275  erdmrn 4276

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain