Theorem elrn2 3335

Description: Membership in a range.

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. V
2		opeq2 2479	. . . 4 |- (y = A -> <.x, y>. = <.x, A>.)
3	2	eleq1d 1532	. . 3 |- (y = A -> (<.x, y>. e. B <-> <.x, A>. e. B))
4	3	exbidv 1274	. 2 |- (y = A -> (E.x<.x, y>. e. B <-> E.x<.x, A>. e. B))
5		dfrn3 3293	. 2 |- ran B = {y | E.x<.x, y>. e. B}
6	1, 4, 5	elab2 1892	1 |- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802  <.cop 2401  ran crn 3161

This theorem is referenced by:  elrn 3336  hbrn 3337  dmrnssfld 3343  rnuni 3445  ssrnres 3467  rninxp 3468  relssdr 3499  fvelrn 3797  tz7.48-1 3941  2nd2val 4080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179

Copyright terms: Public domain