Theorem elrnoprab 4125

Description: Membership in the range of an operation class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
elrnoprab.1	|- C e. V
elrnoprab.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}

Assertion

Ref	Expression
elrnoprab	|- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C   x,D,y

Proof of Theorem elrnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnoprab.2	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}
2	1	elrnoprabg 4124	. 2 |- (A.x e. A A.y e. B C e. V -> (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C))
3		elrnoprab.1	. . . . 5 |- C e. V
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (y e. B -> C e. V)
5	4	rgen 1698	. . 3 |- A.y e. B C e. V
6	5	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> A.y e. B C e. V)
7	2, 6	mprg 1700	1 |- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811  ran crn 3171  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 4843  qnnen 7503  qdensere 7751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080

Copyright terms: Public domain