MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsnres Unicode version

Theorem elsnres 5173
Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
elsnres.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elsnres  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem elsnres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elres 5172 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. x  e.  { C } E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
2 rexcom4 2967 . 2  |-  ( E. x  e.  { C } E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
3 elsnres.1 . . . 4  |-  C  e. 
_V
4 opeq1 3976 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  <. x ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
54eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. C ,  y >. )
)
64eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  <->  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
75, 6anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  ( A  = 
<. C ,  y >.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) ) )
83, 7rexsn 3842 . . 3  |-  ( E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
98exbii 1592 . 2  |-  ( E. y E. x  e. 
{ C }  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. y ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
101, 2, 93bitri 263 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   {csn 3806   <.cop 3809    |` cres 4871
This theorem is referenced by:  frxp  6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-opab 4259  df-xp 4875  df-rel 4876  df-res 4881
  Copyright terms: Public domain W3C validator