Theorem elsymgrn 10401

Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
elsymgrn	|- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem elsymgrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1817	. 2 |- (F e. P -> F e. V)
2		f1of 3689	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->A -> F:A-->A)
3		elsymgrn.1	. . . 4 |- A e. V
4		fex 3652	. . . 4 |- ((F:A-->A /\ A e. V) -> F e. V)
5	3, 4	mpan2 696	. . 3 |- (F:A-->A -> F e. V)
6	2, 5	syl 10	. 2 |- (F:A-1-1-onto->A -> F e. V)
7		f1oeq1 3684	. . 3 |- (x = F -> (x:A-1-1-onto->A <-> F:A-1-1-onto->A))
8		elsymgrn.2	. . 3 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
9	7, 8	elab2g 1900	. 2 |- (F e. V -> (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A))
10	1, 6, 9	pm5.21nii 679	1 |- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811  -->wf 3178  -1-1-onto->wf1o 3181

This theorem is referenced by:  symgoprab 10402  symgf 10405  symggrpi 10406  symgidi 10407  cayleylem1 10409  cayleylem2 10410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197

Copyright terms: Public domain