Theorem eltg2t 7618

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg2t	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eltg2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval2t 7616	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))})
2	1	eleq2d 1544	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))}))
3		elisset 1820	. . . 4 |- (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} -> A e. V)
4	3	adantl 390	. . 3 |- ((B e. Bases /\ A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))}) -> A e. V)
5		ssexg 2726	. . . . . 6 |- ((A (_ U.B /\ U.B e. V) -> A e. V)
6		uniexg 2877	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> U.B e. V)
7	5, 6	sylan2 453	. . . . 5 |- ((A (_ U.B /\ B e. Bases) -> A e. V)
8	7	ancoms 438	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ A (_ U.B) -> A e. V)
9	8	adantrr 397	. . 3 |- ((B e. Bases /\ (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))) -> A e. V)
10		sseq1 2085	. . . . 5 |- (z = A -> (z (_ U.B <-> A (_ U.B))
11		sseq2 2086	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y (_ z <-> y (_ A))
12	11	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((x e. y /\ y (_ z) <-> (x e. y /\ y (_ A)))
13	12	rexbidv 1667	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. B (x e. y /\ y (_ z) <-> E.y e. B (x e. y /\ y (_ A)))
14	13	raleqd 1794	. . . . 5 |- (z = A -> (A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z) <-> A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A)))
15	10, 14	anbi12d 630	. . . 4 |- (z = A -> ((z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z)) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
16	15	elabg 1902	. . 3 |- (A e. V -> (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
17	4, 9, 16	pm5.21nd 682	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. {z | (z (_ U.B /\ A.x e. z E.y e. B (x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))
18	2, 17	bitrd 530	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> (A (_ U.B /\ A.x e. A E.y e. B (x e. y /\ y (_ A))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Basesctb 7592  topGenctg 7593

This theorem is referenced by:  tg1t 7619  tg2t 7620  tgclt 7623  tgval3t 7624  eltop2t 7629  tgss2t 7636

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-topgen 7597

Copyright terms: Public domain