Theorem eltg3t 7605

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg3t	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem eltg3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval3t 7604	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)})
2	1	eleq2d 1540	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)}))
3		visset 1811	. . . . . . 7 |- x e. V
4	3	uniex 2867	. . . . . 6 |- U.x e. V
5		eleq1 1533	. . . . . 6 |- (A = U.x -> (A e. V <-> U.x e. V))
6	4, 5	mpbiri 194	. . . . 5 |- (A = U.x -> A e. V)
7	6	adantl 388	. . . 4 |- ((x (_ B /\ A = U.x) -> A e. V)
8	7	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.x(x (_ B /\ A = U.x) -> A e. V)
9		eqeq1 1480	. . . . 5 |- (y = A -> (y = U.x <-> A = U.x))
10	9	anbi2d 615	. . . 4 |- (y = A -> ((x (_ B /\ y = U.x) <-> (x (_ B /\ A = U.x)))
11	10	exbidv 1279	. . 3 |- (y = A -> (E.x(x (_ B /\ y = U.x) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))
12	8, 11	elab3 1901	. 2 |- (A e. {y | E.x(x (_ B /\ y = U.x)} <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x))
13	2, 12	syl6bb 535	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x (_ B /\ A = U.x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1463  Vcvv 1809   (_ wss 2045  U.cuni 2500  ` cfv 3179  Basesctb 7569  topGenctg 7570

This theorem is referenced by:  tgtopt 7607  eltop3t 7610  basgen2t 7618  bastop 7621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574

Copyright terms: Public domain