Theorem eltopt 7608

Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers.

Assertion

Ref	Expression
eltopt	|- (J e. Top -> (A e. J <-> A (_ U.(J i^i P~A)))

Proof of Theorem eltopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtopt 7607	. . 3 |- (J e. Top -> (topGen` J) = J)
2	1	eleq2d 1540	. 2 |- (J e. Top -> (A e. (topGen` J) <-> A e. J))
3		topbast 7606	. . 3 |- (J e. Top -> J e. Bases)
4		eltgt 7597	. . 3 |- (J e. Bases -> (A e. (topGen` J) <-> A (_ U.(J i^i P~A)))
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (J e. Top -> (A e. (topGen` J) <-> A (_ U.(J i^i P~A)))
6	2, 5	bitr3d 529	1 |- (J e. Top -> (A e. J <-> A (_ U.(J i^i P~A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 957   i^i cin 2044   (_ wss 2045  P~cpw 2399  U.cuni 2500  ` cfv 3179  Topctop 7567  Basesctb 7569  topGenctg 7570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574

Copyright terms: Public domain