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Theorem elunop2 22518
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elunop2
StepHypRef Expression
1 unoplin 22425 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 elunop 22377 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
32simplbi 448 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
4 unopnorm 22422 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
)
54ralrimiva 2597 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )
61, 3, 53jca 1137 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) )
7 eleq1 2316 . . 3  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  UniOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
UniOp ) )
8 eleq1 2316 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  LinOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
9 foeq1 5350 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T : ~H -onto-> ~H 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
10 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
1110fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
12 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
1311, 12eqeq12d 2270 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1413cbvralv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
15 fveq1 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T `  y
)  =  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
1615fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
1716eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1817ralbidv 2534 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1914, 18syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
208, 9, 193anbi123d 1257 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
21 eleq1 2316 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
22 foeq1 5350 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  <->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
23 fveq1 5422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
2423fveq2d 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
2524eqeq1d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2625ralbidv 2534 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2721, 22, 263anbi123d 1257 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)  <->  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
28 idlnop 22497 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
29 f1oi 5414 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H
30 f1ofo 5382 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H )
3129, 30ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H
32 fvresi 5610 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
3332fveq2d 5427 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y
) )  =  (
normh `  y ) )
3433rgen 2579 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
3528, 31, 343pm3.2i 1135 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3620, 27, 35elimhyp 3554 . . . . 5  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736simp1i 969 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
3836simp2i 970 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) : ~H -onto-> ~H
3936simp3i 971 . . . 4  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
4037, 38, 39lnopunii 22517 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  UniOp
417, 40dedth 3547 . 2  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  ->  T  e.  UniOp )
426, 41impbii 182 1  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   ifcif 3506    _I cid 4241    |` cres 4628   -onto->wfo 4636   -1-1-onto->wf1o 4637   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   ~Hchil 21424    .ih csp 21427   normhcno 21428   LinOpclo 21452   UniOpcuo 21454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-hnorm 21473  df-hvsub 21476  df-lnop 22346  df-unop 22348
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