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Theorem elunop2 22595
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elunop2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 22502 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 elunop 22454 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
32simplbi 446 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
4 unopnorm 22499 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
)
54ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )
61, 3, 53jca 1132 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) )
7 eleq1 2345 . . 3  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  UniOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
UniOp ) )
8 eleq1 2345 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  LinOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
9 foeq1 5449 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T : ~H -onto-> ~H 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
10 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
1110fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
12 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
1311, 12eqeq12d 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1413cbvralv 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
15 fveq1 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T `  y
)  =  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
1615fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
1716eqeq1d 2293 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1817ralbidv 2565 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1914, 18syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
208, 9, 193anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
21 eleq1 2345 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
22 foeq1 5449 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  <->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
23 fveq1 5526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
2423fveq2d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
2524eqeq1d 2293 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2625ralbidv 2565 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2721, 22, 263anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)  <->  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
28 idlnop 22574 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
29 f1oi 5513 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H
30 f1ofo 5481 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H
32 fvresi 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
3332fveq2d 5531 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y
) )  =  (
normh `  y ) )
3433rgen 2610 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
3528, 31, 343pm3.2i 1130 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3620, 27, 35elimhyp 3615 . . . . 5  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736simp1i 964 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
3836simp2i 965 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) : ~H -onto-> ~H
3936simp3i 966 . . . 4  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
4037, 38, 39lnopunii 22594 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  UniOp
417, 40dedth 3608 . 2  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  ->  T  e.  UniOp )
426, 41impbii 180 1  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   ifcif 3567    _I cid 4306    |` cres 4693   -onto->wfo 5255   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   ~Hchil 21501    .ih csp 21504   normhcno 21505   LinOpclo 21529   UniOpcuo 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-hnorm 21550  df-hvsub 21553  df-lnop 22423  df-unop 22425
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