HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop2 Unicode version

Theorem elunop2 23364
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elunop2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 23271 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 elunop 23223 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
32simplbi 447 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
4 unopnorm 23268 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
)
54ralrimiva 2732 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )
61, 3, 53jca 1134 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) )
7 eleq1 2447 . . 3  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  UniOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
UniOp ) )
8 eleq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  LinOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
9 foeq1 5589 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T : ~H -onto-> ~H 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
10 fveq2 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
1110fveq2d 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
12 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
1311, 12eqeq12d 2401 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1413cbvralv 2875 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
15 fveq1 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T `  y
)  =  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
1615fveq2d 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
1716eqeq1d 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1817ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1914, 18syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
208, 9, 193anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
21 eleq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
22 foeq1 5589 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  <->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
23 fveq1 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
2423fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
2524eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2625ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2721, 22, 263anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)  <->  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
28 idlnop 23343 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
29 f1oi 5653 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H
30 f1ofo 5621 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H
32 fvresi 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
3332fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y
) )  =  (
normh `  y ) )
3433rgen 2714 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
3528, 31, 343pm3.2i 1132 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3620, 27, 35elimhyp 3730 . . . . 5  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736simp1i 966 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
3836simp2i 967 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) : ~H -onto-> ~H
3936simp3i 968 . . . 4  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
4037, 38, 39lnopunii 23363 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  UniOp
417, 40dedth 3723 . 2  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  ->  T  e.  UniOp )
426, 41impbii 181 1  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   ifcif 3682    _I cid 4434    |` cres 4820   -onto->wfo 5392   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ~Hchil 22270    .ih csp 22273   normhcno 22274   LinOpclo 22298   UniOpcuo 22300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-hnorm 22319  df-hvsub 22322  df-lnop 23192  df-unop 23194
  Copyright terms: Public domain W3C validator