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Theorem elunop2 23554
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elunop2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 23461 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 elunop 23413 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
32simplbi 448 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
4 unopnorm 23458 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
)
54ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )
61, 3, 53jca 1135 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) )
7 eleq1 2503 . . 3  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  UniOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
UniOp ) )
8 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T  e.  LinOp  <->  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
9 foeq1 5684 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T : ~H -onto-> ~H 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
10 fveq2 5763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
1110fveq2d 5767 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
12 fveq2 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
1311, 12eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1413cbvralv 2941 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
15 fveq1 5762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( T `  y
)  =  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
1615fveq2d 5767 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
1716eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1817ralbidv 2732 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
1914, 18syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
208, 9, 193anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
21 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp ) )
22 foeq1 5684 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  <->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H ) )
23 fveq1 5762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )
2423fveq2d 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) ) )
2524eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2625ralbidv 2732 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  =  ( normh `  y ) ) )
2721, 22, 263anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  -> 
( ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)  <->  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
) ) )
28 idlnop 23533 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
29 f1oi 5748 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H
30 f1ofo 5716 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H ) : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ~H ) : ~H -onto-> ~H
32 fvresi 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
3332fveq2d 5767 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( (  _I  |`  ~H ) `  y
) )  =  (
normh `  y ) )
3433rgen 2778 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
3528, 31, 343pm3.2i 1133 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  (  _I  |` 
~H ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e. 
~H  ( normh `  (
(  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3620, 27, 35elimhyp 3816 . . . . 5  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp  /\  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) : ~H -onto-> ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736simp1i 967 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
3836simp2i 968 . . . 4  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) : ~H -onto-> ~H
3936simp3i 969 . . . 4  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
4037, 38, 39lnopunii 23553 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  UniOp
417, 40dedth 3809 . 2  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x ) )  ->  T  e.  UniOp )
426, 41impbii 182 1  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  T : ~H -onto-> ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   ifcif 3767    _I cid 4528    |` cres 4915   -onto->wfo 5487   -1-1-onto->wf1o 5488   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   ~Hchil 22460    .ih csp 22463   normhcno 22464   LinOpclo 22488   UniOpcuo 22490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-hilex 22540  ax-hfvadd 22541  ax-hvcom 22542  ax-hvass 22543  ax-hv0cl 22544  ax-hvaddid 22545  ax-hfvmul 22546  ax-hvmulid 22547  ax-hvdistr2 22550  ax-hvmul0 22551  ax-hfi 22619  ax-his1 22622  ax-his2 22623  ax-his3 22624  ax-his4 22625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-hnorm 22509  df-hvsub 22512  df-lnop 23382  df-unop 23384
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