Theorem eluzelz 6306

Description: Implication of membership in a set of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2t 6304	. 2 |- (N e. (ZZ>` M) <-> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
2		3simp2 786	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> N e. ZZ)
3	1, 2	sylbi 199	1 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 772   e. wcel 1105   class class class wbr 2587  ` cfv 3145   <_ cle 5218  ZZcz 5221  ZZ>cuz 6300

This theorem is referenced by:  eluzt 6309  uztrn 6311  uznegit 6312  uzss 6314  eluzp1lt 6317  eluzaddi 6319  eluzsubi 6320  peano2uzr 6331  uzaddclt 6332  uzind4 6333  uzwo 6338  uzwoOLD 6339  elfz5t 6357  eluzfzt 6360  eluzfz2t 6372  fzoptht 6385  fzss1t 6386  fzss2t 6387  elfzp1 6393  fzneuzt 6401  fsequb 6406  seqzp1 6431  seqzfveq 6437  cvg1i 6808  cvg1 6809  sumeq2 6874  dffsum 6887  fsump1 6895  fsump1s 6902  fsumcllem 6903  fsum1ps 6907  fsumsplit 6909  fsumadd 6911  fsumcom 6917  fsumrev 6918  fsumrev2 6919  fsumshft 6920  fsumshftm 6921  fsummulc1 6922  fsumconst 6927  fsum0 6928  fsumcmp 6929  fsumcmpndx2 6931  fsumabs 6932  serz1p 6941  climshft2 6994  iserzshft2 6995  climrecl 6998  climge0 7000  climaddlem3 7003  climaddc1 7005  climmullem8 7014  climmulc2 7016  climsubc2 7018  clim2serzt 7021  clim2serz 7032  climserzle 7034  serzf0 7056  isumshft 7090  isumshft2 7091  iserzgt0 7097  fsum0diaglem2 7143  lmle 7843

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-enr 5089  df-nr 5090  df-0r 5094  df-c 5163  df-r 5167  df-neg 5281  df-z 6034  df-uz 6301

Copyright terms: Public domain