Theorem elvv 3218

Description: Membership in universal class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3192	. 2 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
2		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
3		visset 1804	. . . . 5 |- y e. V
4	2, 3	pm3.2i 285	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
5	4	biantru 722	. . 3 |- (A = <.x, y>. <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
6	5	2exbii 1048	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. V /\ y e. V)))
7	1, 6	bitr4 176	1 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802  <.cop 2401   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  elvvuni 3219  xpss 3220  onxpdisj 3231  ssrel 3237  elrel 3243  relop 3265  elreldm 3327  1stval2 4073  2ndval2 4074  1st2val 4079  2nd2val 4080  dfopab2 4097  dfoprab3 4098  fundmen 4409

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174

Copyright terms: Public domain