Theorem elxp 3192

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 3174	. . 3 |- (B X. C) = {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)}
2	1	eleq2i 1530	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)})
3		elopab 2800	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
4	2, 3	bitr 173	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  <.cop 2401  {copab 2656   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  elxp2 3193  hbxp 3194  opelxp1 3195  opelxp 3204  ralxp 3208  elxp3 3214  elvv 3218  xpss 3220  xp0r 3229  0nelxp 3230  elxp4 3439  elxp5 3440  fnoprval 4002  2ndconst 4081  xpsnen 4415  xpcomen 4419  xpassen 4421  aceq5lem1 4707  aceq5lem4 4710  elreal 5222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174

Copyright terms: Public domain