Theorem elxp2 3200

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1649	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)))
2		r19.42v 1763	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
3		anass 439	. . . . . 6 |- (((x e. B /\ y e. C) /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. B /\ (y e. C /\ A = <.x, y>.)))
4		ancom 435	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((x e. B /\ y e. C) /\ A = <.x, y>.))
5		an12 484	. . . . . 6 |- ((y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> (x e. B /\ (y e. C /\ A = <.x, y>.)))
6	3, 4, 5	3bitr4r 184	. . . . 5 |- ((y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7	6	exbii 1050	. . . 4 |- (E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
8	1, 2, 7	3bitr3 181	. . 3 |- ((x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
9	8	exbii 1050	. 2 |- (E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
10		df-rex 1649	. 2 |- (E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>. <-> E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
11		elxp 3199	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
12	9, 10, 11	3bitr4r 184	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  E.wrex 1645  <.cop 2409   X. cxp 3165

This theorem is referenced by:  xpdom2 4435  xpnnen 7477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-opab 2664  df-xp 3181

Copyright terms: Public domain