Theorem elxp3 3309

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3283	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		eqcom 1520	. . . 4 |- (<.x, y>. = A <-> A = <.x, y>.)
3		visset 1859	. . . . 5 |- y e. V
4	3	opelxp 3297	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
5	2, 4	anbi12i 485	. . 3 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	2exbii 1088	. 2 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7	1, 6	bitr4i 174	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  <.cop 2469   X. cxp 3249

This theorem is referenced by:  optocl 3321  unixp0 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-opab 2741  df-xp 3265

Copyright terms: Public domain