Theorem elxp3 3224

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3202	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		eqcom 1477	. . . 4 |- (<.x, y>. = A <-> A = <.x, y>.)
3		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
4	3	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
5	2, 4	anbi12i 482	. . 3 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	2exbii 1052	. 2 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7	1, 6	bitr4 176	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  optocl 3235  unixp0 3518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain