Theorem elxp4 3446

Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 3447, elxp6 4093, and elxp7 4094.

Assertion

Ref	Expression
elxp4	|- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Proof of Theorem elxp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3197	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		sneq 2413	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
3	2	rneqd 3336	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. -> ran { A} = ran {<.x, y>.})
4	3	unieqd 2507	. . . . . . . . . 10 |- (A = <.x, y>. -> U.ran { A} = U.ran {<.x, y>.})
5		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
7	5, 6	op2nda 3445	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.x, y>.} = y
8	4, 7	syl6req 1521	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, y>. -> y = U.ran { A})
9	8	pm4.71ri 637	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. <-> (y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.))
10	9	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)))
11		anass 439	. . . . . . 7 |- (((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
13	12	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
14		snex 2745	. . . . . . . 8 |- {A} e. V
15		rnexg 3353	. . . . . . . 8 |- ({A} e. V -> ran { A} e. V)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ran { A} e. V
17	16	uniex 2865	. . . . . 6 |- U.ran { A} e. V
18		opeq2 2484	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> <.x, y>. = <.x, U.ran { A}>.)
19	18	eqeq2d 1483	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> (A = <.x, y>. <-> A = <.x, U.ran { A}>.))
20		eleq1 1531	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> (y e. C <-> U.ran { A} e. C))
21	20	anbi2d 615	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> ((x e. B /\ y e. C) <-> (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
22	19, 21	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (y = U.ran { A} -> ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
23	17, 22	ceqsexv 1831	. . . . 5 |- (E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
24	13, 23	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
25		sneq 2413	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> {A} = {<.x, U.ran { A}>.})
26	25	dmeqd 3308	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> dom { A} = dom {<.x, U.ran { A}>.})
27	26	unieqd 2507	. . . . . . 7 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> U.dom { A} = U.dom {<.x, U.ran { A}>.})
28	5	op1sta 3441	. . . . . . 7 |- U.dom {<.x, U.ran { A}>.} = x
29	27, 28	syl6req 1521	. . . . . 6 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> x = U.dom { A})
30	29	pm4.71ri 637	. . . . 5 |- (A = <.x, U.ran { A}>. <-> (x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.))
31	30	anbi1i 481	. . . 4 |- ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> ((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
32		anass 439	. . . 4 |- (((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
33	24, 31, 32	3bitr 177	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
34	33	exbii 1049	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
35	14	dmex 3354	. . . 4 |- dom { A} e. V
36	35	uniex 2865	. . 3 |- U.dom { A} e. V
37		opeq1 2483	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> <.x, U.ran { A}>. = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.)
38	37	eqeq2d 1483	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> (A = <.x, U.ran { A}>. <-> A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.))
39		eleq1 1531	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> (x e. B <-> U.dom { A} e. B))
40	39	anbi1d 616	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> ((x e. B /\ U.ran { A} e. C) <-> (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
41	38, 40	anbi12d 627	. . 3 |- (x = U.dom { A} -> ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C))))
42	36, 41	ceqsexv 1831	. 2 |- (E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
43	1, 34, 42	3bitr 177	1 |- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  {csn 2405  <.cop 2407  U.cuni 2498   X. cxp 3163  dom cdm 3165  ran crn 3166

This theorem is referenced by:  elxp6 4093  xpdom2 4429  xpmapenlem3 4485  xpmapenlem5 4487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184

Copyright terms: Public domain