Theorem elxp5 3446

Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 3445 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 2542).

Assertion

Ref	Expression
elxp5	|- (A e. (B X. C) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Proof of Theorem elxp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3197	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		sneq 2413	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
3	2	rneqd 3336	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. -> ran { A} = ran {<.x, y>.})
4	3	unieqd 2507	. . . . . . . . . 10 |- (A = <.x, y>. -> U.ran { A} = U.ran {<.x, y>.})
5		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
7	5, 6	op2nda 3444	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.x, y>.} = y
8	4, 7	syl6req 1521	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, y>. -> y = U.ran { A})
9	8	pm4.71ri 637	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. <-> (y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.))
10	9	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)))
11		anass 439	. . . . . . 7 |- (((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
13	12	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
14		snex 2745	. . . . . . . 8 |- {A} e. V
15		rnexg 3353	. . . . . . . 8 |- ({A} e. V -> ran { A} e. V)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ran { A} e. V
17	16	uniex 2865	. . . . . 6 |- U.ran { A} e. V
18		opeq2 2484	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> <.x, y>. = <.x, U.ran { A}>.)
19	18	eqeq2d 1483	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> (A = <.x, y>. <-> A = <.x, U.ran { A}>.))
20		eleq1 1531	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> (y e. C <-> U.ran { A} e. C))
21	20	anbi2d 615	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> ((x e. B /\ y e. C) <-> (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
22	19, 21	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (y = U.ran { A} -> ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
23	17, 22	ceqsexv 1831	. . . . 5 |- (E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
24	13, 23	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
25		inteq 2531	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> |^|A = |^|<.x, U.ran { A}>.)
26	25	inteqd 2533	. . . . . . 7 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> |^||^|A = |^||^|<.x, U.ran { A}>.)
27	5	op1stb 2908	. . . . . . 7 |- |^||^|<.x, U.ran { A}>. = x
28	26, 27	syl6req 1521	. . . . . 6 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> x = |^||^|A)
29	28	pm4.71ri 637	. . . . 5 |- (A = <.x, U.ran { A}>. <-> (x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.))
30	29	anbi1i 481	. . . 4 |- ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> ((x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
31		anass 439	. . . 4 |- (((x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
32	24, 30, 31	3bitr 177	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
33	32	exbii 1049	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
34		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> (x e. V <-> |^||^|A e. V))
35	5, 34	mpbii 193	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> |^||^|A e. V)
36	35	adantr 389	. . . 4 |- ((x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) -> |^||^|A e. V)
37	36	19.23aiv 1293	. . 3 |- (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) -> |^||^|A e. V)
38		elisset 1813	. . . 4 |- (|^||^|A e. B -> |^||^|A e. V)
39	38	ad2antrl 406	. . 3 |- ((A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)) -> |^||^|A e. V)
40		opeq1 2483	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> <.x, U.ran { A}>. = <.|^||^|A, U.ran { A}>.)
41	40	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> (A = <.x, U.ran { A}>. <-> A = <.|^||^|A, U.ran { A}>.))
42		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> (x e. B <-> |^||^|A e. B))
43	42	anbi1d 616	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> ((x e. B /\ U.ran { A} e. C) <-> (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))
44	41, 43	anbi12d 627	. . . 4 |- (x = |^||^|A -> ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C))))
45	44	ceqsexgv 1884	. . 3 |- (|^||^|A e. V -> (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C))))
46	37, 39, 45	pm5.21nii 678	. 2 |- (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))
47	1, 33, 46	3bitr 177	1 |- (A e. (B X. C) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  {csn 2405  <.cop 2407  U.cuni 2498  |^|cint 2528   X. cxp 3163  ran crn 3166

This theorem is referenced by:  mapunen 4488  xpnnen 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184

Copyright terms: Public domain