Theorem elxr 5535

Description: Membership in the set of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
elxr	|- (A e. RR* <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 5489	. . 3 |- RR* = (RR u. { +oo, -oo})
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (A e. RR* <-> A e. (RR u. { +oo, -oo}))
3		elun 2173	. 2 |- (A e. (RR u. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}))
4		pnfxr 5493	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
5	4	elisseti 1818	. . . . 5 |- +oo e. V
6		mnfxr 5494	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
7	6	elisseti 1818	. . . . 5 |- -oo e. V
8	5, 7	elpr2 2425	. . . 4 |- (A e. { +oo, -oo} <-> (A = +oo \/ A = -oo))
9	8	orbi2i 255	. . 3 |- ((A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ (A = +oo \/ A = -oo)))
10		3orass 778	. . 3 |- ((A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo) <-> (A e. RR \/ (A = +oo \/ A = -oo)))
11	9, 10	bitr4 176	. 2 |- ((A e. RR \/ A e. { +oo, -oo}) <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))
12	2, 3, 11	3bitr 177	1 |- (A e. RR* <-> (A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   \/ w3o 774   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045  {cpr 2410  RRcr 5233   +oocpnf 5483   -oocmnf 5484  RR*cxr 5485

This theorem is referenced by:  xrltnrt 5541  xrltnsymt 5550  xrlttrit 5552  xrlttrt 5553  xrrebndt 5568  xrsupsslem 6076  xrinfmsslem 6077  xrub 6080  supxrre 6083  qbtwnxr 6279  tgioolem 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489

Copyright terms: Public domain