Theorem elz 6139

Description: Membership in the set of integers.

Assertion

Ref	Expression
elz	|- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))

Proof of Theorem elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 1484	. . 3 |- (x = N -> (x = 0 <-> N = 0))
2		eleq1 1537	. . 3 |- (x = N -> (x e. NN <-> N e. NN))
3		negeq 5371	. . . 4 |- (x = N -> -ux = -uN)
4	3	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = N -> (-ux e. NN <-> -uN e. NN))
5	1, 2, 4	3orbi123d 894	. 2 |- (x = N -> ((x = 0 \/ x e. NN \/ -ux e. NN) <-> (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
6		df-z 6138	. 2 |- ZZ = {x e. RR | (x = 0 \/ x e. NN \/ -ux e. NN)}
7	5, 6	elrab2 1910	1 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   \/ w3o 776   = wceq 958   e. wcel 960  RRcr 5245  0cc0 5246  -ucneg 5305  NNcn 5308  ZZcz 5310

This theorem is referenced by:  nnnegz 6140  zret 6141  elnnz 6147  0z 6148  elznn0nn 6150  elznn0 6151  elznn 6152  elnnz1 6157  znegclt 6165  zeot 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971  df-neg 5370  df-z 6138

Copyright terms: Public domain