Theorem en0 4564

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
en0	|- (A ~~ (/) <-> A = (/))

Proof of Theorem en0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2785	. . . 4 |- (/) e. V
2	1	bren 4518	. . 3 |- (A ~~ (/) <-> E.f f:A-1-1-onto->(/))
3		f1ocnv 3809	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->(/) -> `'f:(/)-1-1-onto->A)
4		f1o00 3825	. . . . . 6 |- (`'f:(/)-1-1-onto->A <-> (`'f = (/) /\ A = (/)))
5	4	pm3.27bi 324	. . . . 5 |- (`'f:(/)-1-1-onto->A -> A = (/))
6	3, 5	syl 10	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->(/) -> A = (/))
7	6	19.23aiv 1333	. . 3 |- (E.f f:A-1-1-onto->(/) -> A = (/))
8	2, 7	sylbi 197	. 2 |- (A ~~ (/) -> A = (/))
9	1	enref 4532	. . 3 |- (/) ~~ (/)
10		breq1 2695	. . 3 |- (A = (/) -> (A ~~ (/) <-> (/) ~~ (/)))
11	9, 10	mpbiri 192	. 2 |- (A = (/) -> A ~~ (/))
12	8, 11	impbii 155	1 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))

Syntax hints:   <-> wb 144   = wceq 992  E.wex 1016  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  `'ccnv 3250  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  snfi 4573  dom0 4610  0sdomg 4611  nneneq 4659  unifi 4701  fiint 4703  cardeq0 4980  infmap2 7793  finsschain 11425  fcluscomplem 11732  dif1card 11835  indexf 11847

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509

Copyright terms: Public domain