MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en0 Unicode version

Theorem en0 6878
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )

Proof of Theorem en0
StepHypRef Expression
1 bren 6825 . . 3  |-  ( A 
~~  (/)  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> (/) )
2 f1ocnv 5409 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> (/)  ->  `' f : (/)
-1-1-onto-> A )
3 f1o00 5432 . . . . . 6  |-  ( `' f : (/) -1-1-onto-> A  <->  ( `' f  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
43simprbi 452 . . . . 5  |-  ( `' f : (/) -1-1-onto-> A  ->  A  =  (/) )
52, 4syl 17 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> (/)  ->  A  =  (/) )
65exlimiv 2024 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> (/)  ->  A  =  (/) )
71, 6sylbi 189 . 2  |-  ( A 
~~  (/)  ->  A  =  (/) )
8 0ex 4110 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
98enref 6848 . . 3  |-  (/)  ~~  (/)
10 breq1 3986 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A 
~~  (/)  <->  (/)  ~~  (/) ) )
119, 10mpbiri 226 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  A  ~~  (/) )
127, 11impbii 182 1  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178   E.wex 1537    = wceq 1619   (/)c0 3416   class class class wbr 3983   `'ccnv 4646   -1-1-onto->wf1o 4658    ~~ cen 6814
This theorem is referenced by:  snfi  6895  dom0  6943  0sdomg  6944  nneneq  6998  enp1i  7047  findcard  7051  findcard2  7052  fiint  7087  cantnff  7329  cantnf0  7330  cantnfp1lem2  7335  cantnflem1  7345  cantnf  7349  cnfcom2lem  7358  cardnueq0  7551  infmap2  7798  fin23lem26  7905  cardeq0  8128  hasheq0  11305  mreexexd  13498  pmtrfmvdn0  26756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-en 6818
  Copyright terms: Public domain W3C validator