Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 26748
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6836 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4717 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4489 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3639 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 en1b 6897 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } )
76biimpi 188 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
85, 7eleqtrrd 2335 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   {csn 3614   U.cuni 3801   class class class wbr 3997   1oc1o 6440    ~~ cen 6828
This theorem is referenced by:  en2eleq  26749  en2other2  26750  pmtrf  26765  pmtrmvd  26766  pmtrfinv  26770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-1o 6447  df-en 6832
  Copyright terms: Public domain W3C validator