Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 26712
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6801 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4682 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4454 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3606 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 20 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 en1b 6862 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } )
76biimpi 188 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
85, 7eleqtrrd 2333 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740   {csn 3581   U.cuni 3768   class class class wbr 3963   1oc1o 6405    ~~ cen 6793
This theorem is referenced by:  en2eleq  26713  en2other2  26714  pmtrf  26729  pmtrmvd  26730  pmtrfinv  26734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-suc 4335  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-1o 6412  df-en 6797
  Copyright terms: Public domain W3C validator