Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en1uniel Structured version   Unicode version

Theorem en1uniel 27395
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 7143 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4947 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4735 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3863 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 19 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 en1b 7204 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } )
76biimpi 188 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
85, 7eleqtrrd 2519 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   {csn 3838   U.cuni 4039   class class class wbr 4237   1oc1o 6746    ~~ cen 7135
This theorem is referenced by:  en2eleq  27396  en2other2  27397  pmtrf  27412  pmtrmvd  27413  pmtrfinv  27417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-id 4527  df-suc 4616  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-1o 6753  df-en 7139
  Copyright terms: Public domain W3C validator