Theorem en2 4389

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function.

Hypotheses

Ref	Expression
en2.1	|- A e. V
en2.2	|- (x e. A -> C e. V)
en2.3	|- (y e. B -> D e. V)
en2.4	|- ((x e. A /\ y = C) <-> (y e. B /\ x = D))

Assertion

Ref	Expression
en2	|- A ~~ B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   y,C   x,D

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. 2 |- A = A
2		en2.1	. . . 4 |- A e. V
3	2	a1i 8	. . 3 |- (A = A -> A e. V)
4		en2.2	. . . 4 |- (x e. A -> C e. V)
5	4	a1i 8	. . 3 |- (A = A -> (x e. A -> C e. V))
6		en2.3	. . . 4 |- (y e. B -> D e. V)
7	6	a1i 8	. . 3 |- (A = A -> (y e. B -> D e. V))
8		en2.4	. . . 4 |- ((x e. A /\ y = C) <-> (y e. B /\ x = D))
9	8	a1i 8	. . 3 |- (A = A -> ((x e. A /\ y = C) <-> (y e. B /\ x = D)))
10	3, 5, 7, 9	en2d 4387	. 2 |- (A = A -> A ~~ B)
11	1, 10	ax-mp 7	1 |- A ~~ B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  mapsnen 4416  map1 4417  xpsnen 4421  xpcomen 4425  xpassen 4427  pw2en 4432  mapxpen 4481  xpmapenlem5 4486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357

Copyright terms: Public domain