Theorem en2lp 4582

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206.

Assertion

Ref	Expression
en2lp	|- -. (A e. B /\ B e. A)

Proof of Theorem en2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1531	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
2		eleq2 1532	. . . . 5 |- (x = A -> (y e. x <-> y e. A))
3	1, 2	anbi12d 627	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. y /\ y e. x) <-> (A e. y /\ y e. A)))
4	3	negbid 610	. . 3 |- (x = A -> (-. (x e. y /\ y e. x) <-> -. (A e. y /\ y e. A)))
5		eleq2 1532	. . . . 5 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6		eleq1 1531	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. A <-> B e. A))
7	5, 6	anbi12d 627	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. y /\ y e. A) <-> (A e. B /\ B e. A)))
8	7	negbid 610	. . 3 |- (y = B -> (-. (A e. y /\ y e. A) <-> -. (A e. B /\ B e. A)))
9		zfregfr 4581	. . . 4 |- E Fr V
10		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
11		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
12	10, 11	pm3.2i 285	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
13		efrn2lp 2924	. . . 4 |- ((E Fr V /\ (x e. V /\ y e. V)) -> -. (x e. y /\ y e. x))
14	9, 12, 13	mp2an 696	. . 3 |- -. (x e. y /\ y e. x)
15	4, 8, 14	vtocl2g 1846	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
16		elisset 1813	. . . 4 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1813	. . . 4 |- (B e. A -> B e. V)
18	16, 17	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. B /\ B e. A) -> (A e. V /\ B e. V))
19	18	con3i 98	. 2 |- (-. (A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- -. (A e. B /\ B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  Ecep 2825   Fr wfr 2910

This theorem is referenced by:  preleq 4583  suc11reg 4585  axunndlem1 4927  axacndlem5 4943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-eprel 2827  df-fr 2912

Copyright terms: Public domain