Theorem en2sn 4437

Description: Two singletons are equinumerous.

Assertion

Ref	Expression
en2sn	|- ((A e. C /\ B e. D) -> {A} ~~ {B})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entrt 4420	. 2 |- (({A} ~~ 1o /\ 1o ~~ {B}) -> {A} ~~ {B})
2		ensn1g 4431	. 2 |- (A e. C -> {A} ~~ 1o)
3		ensn1g 4431	. . 3 |- (B e. D -> {B} ~~ 1o)
4		1on 4144	. . . 4 |- 1o e. On
5		ensymg 4417	. . . 4 |- (1o e. On -> ({B} ~~ 1o -> 1o ~~ {B}))
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- ({B} ~~ 1o -> 1o ~~ {B})
7	3, 6	syl 10	. 2 |- (B e. D -> 1o ~~ {B})
8	1, 2, 7	syl2an 456	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> {A} ~~ {B})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  {csn 2413   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  1oc1o 4134   ~~ cen 4370

This theorem is referenced by:  limensuci 4512  fodomfi 4575  fodomfiOLD 4576  infensuc 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-1o 4139  df-er 4267  df-en 4374

Copyright terms: Public domain