MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endom Unicode version

Theorem endom 6842
Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
endom  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )

Proof of Theorem endom
StepHypRef Expression
1 enssdom 6840 . 2  |-  ~~  C_  ~<_
21ssbri 4025 1  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6   class class class wbr 3983    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815
This theorem is referenced by:  bren2  6846  domrefg  6850  endomtr  6873  domentr  6874  domunsncan  6916  sbthb  6936  sdomentr  6949  ensdomtr  6951  domtriord  6961  domunsn  6965  xpen  6978  unxpdom2  7025  sucxpdom  7026  wdomen1  7244  wdomen2  7245  fidomtri2  7581  prdom2  7590  acnen  7634  acnen2  7636  alephdom  7662  alephinit  7676  uncdadom  7751  pwcdadom  7796  fin1a2lem11  7990  hsmexlem1  8006  gchdomtri  8205  gchcdaidm  8244  gchxpidm  8245  gchhar  8247  gchpwdom  8250  gruina  8394  odinf  14824  hauspwdom  17175  ufildom1  17569  iscmet3  18667  ovolctb2  18799  mbfaddlem  18963  heiborlem3  25890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-br 3984  df-opab 4038  df-xp 4661  df-rel 4662  df-f1o 4674  df-en 6818  df-dom 6819
  Copyright terms: Public domain W3C validator