Theorem endomtr 4401

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4396	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 4366	. 2 |- (A ~~ B -> A ~<_ B)
3	1, 2	sylan 448	1 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2609   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  undom 4418  xpdom1 4423  xpdom3 4425  ensdomtr 4451  domsdomtr 4456  domen1 4459  mapdom1 4472  mapdom2 4474  php 4493  onomeneq 4498  0sdom1dom 4504  isfinite1 4510  carddomi 4807  cdadom2 4906  xpnnen 7441  infxpidmlem1 7495  infdif 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain