Theorem ener 4551

Description: Equinumerosity is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
ener	|- Er ~~

Proof of Theorem ener

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1859	. . . 4 |- y e. V
2	1	bren 4518	. . 3 |- (x ~~ y <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
3		f1ocnv 3809	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> `'f:y-1-1-onto->x)
4	1	f1oen 4539	. . . . 5 |- (`'f:y-1-1-onto->x -> y ~~ x)
5	3, 4	syl 10	. . . 4 |- (f:x-1-1-onto->y -> y ~~ x)
6	5	19.23aiv 1333	. . 3 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> y ~~ x)
7	2, 6	sylbi 197	. 2 |- (x ~~ y -> y ~~ x)
8		eeanv 1361	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) <-> (E.g g:x-1-1-onto->y /\ E.f f:y-1-1-onto->z))
9		f1oco 3818	. . . . . . 7 |- ((f:y-1-1-onto->z /\ g:x-1-1-onto->y) -> (f o. g):x-1-1-onto->z)
10	9	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> (f o. g):x-1-1-onto->z)
11		visset 1859	. . . . . . 7 |- x e. V
12	11	f1oen 4539	. . . . . 6 |- ((f o. g):x-1-1-onto->z -> x ~~ z)
13	10, 12	syl 10	. . . . 5 |- ((g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
14	13	19.23aivv 1334	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1-onto->y /\ f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
15	8, 14	sylbir 199	. . 3 |- ((E.g g:x-1-1-onto->y /\ E.f f:y-1-1-onto->z) -> x ~~ z)
16	1	bren 4518	. . 3 |- (x ~~ y <-> E.g g:x-1-1-onto->y)
17		visset 1859	. . . 4 |- z e. V
18	17	bren 4518	. . 3 |- (y ~~ z <-> E.f f:y-1-1-onto->z)
19	15, 16, 18	syl2anb 457	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
20	7, 19	ster 4408	1 |- Er ~~

Syntax hints:   /\ wa 221  E.wex 1016   class class class wbr 2692  `'ccnv 3250   o. ccom 3255  -1-1-onto->wf1o 3262  Er wer 4398   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  ensymg 4552  entr 4555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509

Copyright terms: Public domain