Theorem enqeceq 5047

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
enqeceq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) = (B .N C)))

Proof of Theorem enqeceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (A e. N. /\ B e. N.))
2		opelxpi 3217	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. (N. X. N.))
3		dmenq 5045	. . . 4 |- dom ~Q = (N. X. N.)
4	2, 3	syl6eleqr 1559	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. dom ~Q )
5		opex 2782	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
6		enqer 5046	. . . 4 |- Er ~Q
7	5, 6	erthdm 4283	. . 3 |- (<.A, B>. e. dom ~Q -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> <.A, B>. ~Q <.C, D>.))
8	1, 4, 7	3syl 20	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> <.A, B>. ~Q <.C, D>.))
9		enqbreq 5044	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (<.A, B>. ~Q <.C, D>. <-> (A .N D) = (B .N C)))
10	8, 9	bitrd 528	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) = (B .N C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963  [cec 4259  N.cnpi 4972   .N cmi 4974   ~Q ceq 4978

This theorem is referenced by:  ordpipq 5056  ltsopq 5075  prlem934b 5138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-ni 5000  df-mi 5002  df-enq 5037

Copyright terms: Public domain