MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqer Unicode version

Theorem enqer 8513
Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqer  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )

Proof of Theorem enqer
StepHypRef Expression
1 df-enq 8503 . 2  |-  ~Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
2 mulcompi 8488 . 2  |-  ( x  .N  y )  =  ( y  .N  x
)
3 mulclpi 8485 . 2  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
4 mulasspi 8489 . 2  |-  ( ( x  .N  y )  .N  z )  =  ( x  .N  (
y  .N  z ) )
5 mulcanpi 8492 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  =  ( x  .N  z )  <-> 
y  =  z ) )
65biimpd 200 . 2  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  =  ( x  .N  z )  ->  y  =  z ) )
71, 2, 3, 4, 6ecopover 6730 1  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    X. cxp 4659  (class class class)co 5792    Er wer 6625   N.cnpi 8434    .N cmi 8436    ~Q ceq 8441
This theorem is referenced by:  nqereu  8521  nqerf  8522  nqerid  8525  enqeq  8526  nqereq  8527  adderpq  8548  mulerpq  8549  1nqenq  8554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-mi 8466  df-enq 8503
  Copyright terms: Public domain W3C validator